Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$, а $\mathcal{A}$ — линейный оператор на $V$. Вектор $x \in V$ называется ***собственным вектором*** оператора $\mathcal{A}$, если $x \ne 0$ и существует скаляр $\lambda \in F$ такой, что $$ \mathcal{A}x = \lambda x \quad (*)$$ Скаляр $\lambda \in F$, для которого существует ненулевой вектор $x \in V$, удовлетворяющий равенству $(*)$, называется ***собственным значением*** оператора $\mathcal{A}$. Говорят, что собственный вектор $x$ ***принадлежит собственному значению*** $\lambda$.

Пусть $A$ – линейный оператор, действующий в векторном пространстве $V$ над полем $F$. Зафиксируем некоторый базис пространства $V$ и обозначим через $A$ матрицу оператора $A$ в этом базисе. Для произвольного вектора $x \in V$ обозначим через $x$ столбец его координат в выбранном базисе. Равенство $\mathcal{A}x = \lambda x$ равносильно матричному равенству $Ax = \lambda x$. Если $E$ – единичная матрица того же порядка, что и $A$, это равенство можно переписать в виде $Ax = \lambda Ex$ или $(A - \lambda E)x = 0$, где $0$ – нулевой столбец. Эта система линейных однородных уравнений с параметром $\lambda$: $$ (A - \lambda E)x = 0 \quad (*)$$ Собственными векторами оператора $A$ являются векторы, координатные столбцы которых суть ненулевые решения системы $(*)$. Собственными значениями оператора $A$ являются те значения параметра $\lambda$, при которых система $(*)$ имеет ненулевые решения.

Собственные векторы, принадлежащие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Индукция по числу $k$ векторов. База индукции ($k=1$): Собственный вектор по определению ненулевой, поэтому система из одного собственного вектора линейно независима. Шаг индукции: Пусть $k > 1$. Предположим, что утверждение верно для $k-1$ векторов. Пусть $x_1, x_2, \dots, x_k$ – собственные векторы оператора $A$, принадлежащие попарно различным собственным значениям $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$. Предположим, что для некоторых скаляров $s_1, s_2, \dots, s_k$: $$ s_1x_1 + s_2x_2 + \dots + s_{k-1}x_{k-1} + s_kx_k = 0 \quad (1) $$ Применив к этому равенству оператор $A$ и учитывая $Ax_i = \lambda_ix_i$, получим: $$ s_1\lambda_1x_1 + s_2\lambda_2x_2 + \dots + s_{k-1}\lambda_{k-1}x_{k-1} + s_k\lambda_kx_k = 0 \quad (2) $$ Умножим равенство (1) на $\lambda_k$ и вычтем полученное равенство из (2). Получим: $$ s_1(\lambda_1 - \lambda_k)x_1 + s_2(\lambda_2 - \lambda_k)x_2 + \dots + s_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)x_{k-1} = 0 $$ По предположению индукции, векторы $x_1, x_2, \dots, x_{k-1}$ линейно независимы, а значит линейно независимы и исходные векторы. $\square$